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第64章 代数与平面几何

代数部分的方程求解、函数应用，以及平面几何中的图形性质、坐标运算等，是处理数学建模、图形绘制、逻辑判断等问题的基础。

64.1 代数基础​

64.1.1 实数与代数式​

实数分类

  1. 有理数：整数、分数，可写成 pq (q≠0)\frac{p}{q}\ (q≠0)；
  2. 无理数：无限不循环小数，如 2, π\sqrt{2},\ \pi。

实数运算律

a+b=b+a加法交换律a×b=b×a乘法交换律a×(b+c)=a×b+a×c分配律\begin{align*} a+b &= b+a \quad \text{加法交换律}\\ a \times b &= b \times a \quad \text{乘法交换律}\\ a \times (b+c) &= a \times b + a \times c \quad \text{分配律} \end{align*}

代数式与整式

  • 代数式：由数字、字母经加减乘除乘方开方构成，例 3x+2y, a2−b23x+2y,\ a^2-b^2；
  • 单项式：数字字母乘积，如 −3a2b-3a^2b；
  • 多项式：多个单项式相加； 整式运算：
  1. 合并同类项：3x+5x=8x3x+5x=8x；
  2. 幂运算：
am×an=am+n(am)n=am×n(a×b)n=an×bn(a≠0)\begin{align*} a^m \times a^n &= a^{m+n}\\ (a^m)^n &= a^{m \times n}\\ (a \times b)^n &= a^n \times b^n \quad (a≠0) \end{align*}

64.1.2 方程与不等式​

一元一次方程 标准形式 ax+b=0 (a≠0)ax+b=0\ (a≠0) 步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。

二元一次方程组 形如

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1\\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}

解法：代入消元、加减消元。

一元二次方程 标准式 ax2+bx+c=0 (a≠0)ax^2+bx+c=0\ (a≠0) 判别式 Δ=b2−4ac\Delta = b^2-4ac 求根公式：

x=−b±Δ2ax=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
  • Δ>0\Delta>0：两个不等实数根
  • Δ=0\Delta=0：两个相等实数根
  • Δ<0\Delta<0：无实数根

不等式基本性质

  1. 同加同减，不等号不变；
  2. 同乘除正数，不等号不变；
  3. 同乘除负数，不等号反转。

64.1.3 函数基础​

一次函数 y=kx+b (k≠0)y=kx+b\ (k≠0)

  • b=0b=0 为正比例函数 y=kxy=kx；
  • k>0k>0，yy 随xx增大而增大；k<0k<0反之。

反比例函数 y=kx (k≠0, x≠0)y=\frac{k}{x}\ (k≠0,\ x≠0) 图像为双曲线，k>0k>0在一、三象限，k<0k<0在二、四象限。

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)y=ax^2+bx+c\ (a≠0) 对称轴：x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 顶点坐标：

(−b2a, 4ac−b24a)\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right)
  • a>0a>0 开口向上，顶点最小值；
  • a<0a<0 开口向下，顶点最大值。

64.2 平面几何基础​

64.2.1 点、线、角​

  • 直线：两端无限延伸，两点确定一条直线；
  • 线段：两点之间部分，两点之间线段最短；
  • 射线：一端无限延伸。

角分类：锐角<90∘<90^\circ、直角=90∘=90^\circ、钝角>90∘>90^\circ。 平行线性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

64.2.2 三角形​

三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 内角和：180∘180^\circ；外角等于不相邻两内角和。

全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 相似判定：两角相等 / 两边成比例夹角相等 / 三边成比例；面积比等于相似比平方。

直角三角形勾股定理：

a2+b2=ca^2 + b^2 = c
  • 30°对直角边为斜边一半；
  • 等腰直角三角形斜边=2×=\sqrt{2} \times直角边。

64.2.3 四边形​

平行四边形：对边平行相等、对角相等、对角线平分； 矩形：四角直角，对角线相等； 菱形：四边相等，对角线垂直平分； 正方形：兼具矩形、菱形全部性质； 等腰梯形：两腰相等，同底两角相等，对角线相等。

64.2.4 圆​

垂径定理：垂直弦的直径平分弦； 圆心角=对应弧度数，圆周角=弧度数一半； 直径对应圆周角为直角。 直线与圆：

  • d>rd>r 相离；d=rd=r 相切；d<rd<r 相交。

64.2.5 平面直角坐标系​

点对称

  • 关于x轴：(x,y)→(x,−y)(x,y) \to (x,-y)
  • 关于y轴：(x,y)→(−x,y)(x,y) \to (-x,y)
  • 关于原点：(x,y)→(−x,−y)(x,y) \to (-x,-y)

两点距离公式（A(x1,y1), B(x2,y2)A(x_1,y_1),\ B(x_2,y_2)）

AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

线段中点坐标：

(x1+x22, y1+y22)\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)

64.3 数学在编程中的应用​

  1. 代数：循环迭代解方程、函数数值计算；
  2. 几何：坐标求距离、图形碰撞检测、绘图；

64.4 注意事项​

  1. 浮点运算选用float/double保证精度；
  2. 平方开方使用pow、sqrt库函数；
  3. 判断浮点数相等不能直接==，需设置极小误差区间。