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第20章 数据编码

在计算机中，数值是以二进制形式存储的，而原码、反码、补码是表示有符号整数的三种编码方式。它们的设计目的是解决计算机中负数的表示和运算问题，尤其是如何通过加法运算实现减法操作。本章将详细介绍这三种编码的定义、表示方法、转换规则及实际应用。

20.1 机器数与真值​

机器数：一个数在计算机中的二进制表示形式，包含符号位和数值位。通常用最高位表示符号（0表示正数，1表示负数），其余位表示数值的绝对值。例如，8位二进制数00000101 和10000101都是机器数。

真值：机器数所对应的实际数值。例如，机器数00000101的真值是+5，10000101的真值是-5。

20.2 原码(True Form)​

20.2.1 定义​

  • 正数：符号位为0，数值位为该数的二进制绝对值。
  • 负数：符号位为1，数值位为该数绝对值的二进制。

20.2.2 表示方法​

以8位二进制数为例（1位符号位+7位数值位）：

  • 真值+5的原码：符号位0，数值位0000101，即00000101。
  • 真值-5的原码：符号位1，数值位0000101，即10000101。
  • 真值0存在两种形式：+0为00000000，-0为10000000。

20.2.3 特点​

  1. 直观易懂，与真值对应关系简单；
  2. 加减法运算复杂，需要先判断符号再决定加减；
  3. 存在两种0的编码，浪费存储空间。

20.3 反码(One's Complement)​

20.3.1 定义​

  • 正数：反码与原码完全相同。
  • 负数：符号位保持1，数值位按位取反（0变1，1变0）。

20.3.2 表示方法​

8位二进制示例：

  • +5 原码00000101，反码同为00000101；
  • -5 原码10000101，数值位取反得到11111010（反码）；
  • 0同样两种形式：+0=00000000，-0=11111111。

20.3.3 特点​

  1. 正数原反码一致；
  2. 仍存在双零问题；
  3. 加法有循环进位规则：两数反码相加，若最高位产生进位，将进位加到最低位。

示例：计算 5+(−3)5+(-3)

  1. +5反码：00000101
  2. -3原码10000011，反码11111100
  3. 相加：00000101+11111100=10000000100000101 + 11111100 = 100000001
  4. 循环进位：进位1加到末尾 00000001+1=0000001000000001+1=00000010，真值为2。

20.4 补码(Two's Complement)​

补码是计算机标准有符号整数编码，解决双零、减法复杂问题。

20.4.1 定义​

  • 正数：补码 = 原码 = 反码；
  • 负数：反码 + 1（无循环进位）。

20.4.2 表示方法​

8位示例：

  • +5：00000101
  • -5 原码10000101 → 反码11111010 → 补码11111011
  • 0仅有唯一编码00000000。

20.4.3 n位补码取值范围​

n位（1符号位，n-1数值位）： −2n−1∼2n−1−1-2^{n-1} \sim 2^{n-1}-1 8位范围：−128∼127-128 \sim 127，10000000专门表示-128，无对应原反码。

20.4.4 运算规则​

  1. 加法：[A+B][B]补=[A][B]补+[B][B]补[A+B]_{[B]_{补}} = [A]_{[B]_{补}} + [B]_{[B]_{补}}，直接相加，溢出结果无效；
  2. 减法：[A−B][B]补=[A][B]补+[−B][B]补[A-B]_{[B]_{补}} = [A]_{[B]_{补}} + [-B]_{[B]_{补}}，减法转为加负数补码； 求−B-B补码：对[B][B]补[B]_{[B]_{补}}全部位取反再加1。

示例1：5−35-3 +5补码00000101，-3补码11111101 相加：00000101+11111101=10000001000000101 + 11111101 = 100000010，舍弃进位得00000010，真值2。

示例2：3−53-5 +3补码00000011，-5补码11111011 相加得11111110（负数补码），还原：补码-1得反码11111101，数值位取反，原码10000010，真值-2。

20.4.5 补码优势​

  1. 0唯一，节省存储；
  2. 减法完全转为加法，硬件只需加法器；
  3. 多一个最小负数，取值范围更大。

20.5 三种编码转换关系​

20.5.1 正数​

[X]原=[X]反=[X][B]补[X]_{原} = [X]_{反} = [X]_{[B]_{补}}

20.5.2 负数​

  1. 原码 → 反码：符号不变，数值位取反；
  2. 反码 → 补码：整体+1；
  3. 补码 → 原码：两种方式
    • 补码全部位取反加1；
    • 补码-1得到反码，数值位取反。

示例 X=-5（8位） 原码：10000101 反码：11111010 补码：11111011 补码求原码：11111011取反00000100 +1 → 0000101，加符号位10000101。

20.6 补码溢出​

运算结果超出n位补码范围即为溢出，结果错误。

20.6.1 判断方法​

  1. 双符号位：00正、11负；运算后01正溢出，10负溢出；
  2. 单符号位：
    • 两个正数相加，结果符号为1 → 正溢出；
    • 两个负数相加，结果符号为0 → 负溢出；
    • 一正一负相加永远无溢出。

示例：8位计算120+10 120补码01111000，10补码00001010 相加得10000010，符号位变为1，正溢出（130>127）。

20.7 计算机选用补码的原因​

  1. 硬件简化：仅需加法电路，减法转换加法；
  2. 零统一：消除±0两种编码；
  3. 空间充分：多表示一个负极值，提升存储利用率。